386 



OSTROGRADSKY. 



nier objet, il s'en trouve une, la plus remarquable de toutes, qui consiste à 

 opérer l'élimination de la partie non intégrable, uniquement aux dépens 

 des fonctions que A renferme, sans toucher à leurs variations. Ce mode 

 d'élimination est celui que l'on suit dans les problèmes des isopérimètres: 

 en l'adoptant, on établira les mêmes équations différentielles que celles de 

 ces problèmes. Elles comprennent, comme cas très particulier, les équa- 

 tions de la Dynamique et méritent, déjà par cette raison, mais plus encore 

 par elles-mêmes toute notre attention. 



Gomme suite de ces équations, et en même temps qu'elles, on rencontre 

 une formule extrêmement remarquable; savoir: l'égalité qui s'établit entre la 

 variation de A et sa première partie, celle qui est toujours intégrable, après 

 que la stconde partie ait disparu. Cette formule convertit une variation 

 exacte en une différentielle exacte; elle servira de base à nos recherches 

 actuelles et fournira d'importantes conséquences. Elle n'est cependant rien 

 autre chose que les équations différentielles qu'on vient de poser, pour Caire 

 disparaître îa partie non intégrable de la variation de A , c'est-à-dire les 

 équations différentielles, du problème des isopérimètres. Mais elle repré- 

 sente ces équations sous une forme qui permet d'en remarquer aisément 

 plusieurs propriétés importantes et qu'on ne découvrirait pas facilement en 

 ne les considérant que sous leurs formes ordinaires. 



Pour abréger le discours, nous appellerons cette formule équation ou 

 formule fondamentale. 



Les inconnues qu'elle renferme sont les mêmes que celles du problème 

 des isopérimètres , savoir: les fonctions du temps comprises dans A avec 

 leurs dérivées jusqu'à certains ordres que nous nous dispensons de pré- 

 ciser. Mais ces inconnues ne sont pas toutes également propres à la question. 

 11 convient de n'en laisser que la moitié et d'en remplacer le reste par 

 d'autres plus commodes. Or, celles qui paraissent offrir le plus de simplicité 

 et convenir le mieux à la question, sont les quantités qui se trouvent sous 



