Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 387 



le signe d, dans la partie différentielle de la formule fondamentale, en y 

 servant de coefficients aux variations et à leurs dérivées. Mais ces quan- 

 tités ne formeront que la moitié du nombre total d'inconnues, on laissera 

 comme l'autre moitié les fonctions comprises dans A avec celles de leurs 

 dérivées, qui y sont également comprises, en excluant pourtant, parmi les 

 dernières, les plus élevées relativement à chaque fonction. 



Par une transformation extrêmement facile, la formule fondamentale se 

 décompose en équations différentielles du premier ordre dont le nombre est 

 égal à celui d'inconnues qu'on vii-nt de désigner. Ces équations sont 

 tout-à-fait semblables aux formules générales de la Dynamique, quoique 

 cette science ne soit qu'un cas très particulier du problème des isopéri- 

 mètres. Dans nos formules, comme dans celles de la Dynamique^ les différen- 

 tielles des inconnues sont exprimées par les différences partielles d'une même 

 fonction, que nous faisons connaître, et qui ne renferme que le temps et 

 les inconnues du problème. 



Au surplus, nous parvenons, et avec facilité, aux mêmes équations diffé- 

 rentielles sans le secours de la formule fondamentale. 



N'oublions pas que cette formule établit une relation d'égalité, entre 

 une différentielle exacte et la variation de la quantité A, quels que soient 

 d ailleurs les incréments ou les variations des fonctions du temps que cette 

 quantité A renferme. Si l'on pouvait attribuer aux incréments dont il s agit 

 des valeurs particulières,, propres à rendre la variation de A intégrable d'elle- 

 même, l'équation fondamentale deviendrait, pour ces valeurs particulières, 

 une égalité entre deux différentielles exactes. On pourrait donc l'intégrer et 

 elle fournirait ainsi une intégrale des équations différentielles du problème 

 des isopérimètres; car, rappelons-le, la formule fondamentale n'est au fond 

 que ces mêmes équations. 



Si, par exemple, la quantité A ne contenait pas le temps implicitement, 

 on rendrait sa variation (me différentielle exacte, en égalant respectivement 



