Équations différenlielles dans le problème des isopérimètres. 389 



3* Une intégrale ou solution complète de cette équation suffit pour 

 résoudre le problème des isopérimètres, c'est-à-dire pour intégrer com- 

 plètement les équations difterentielles qui s'y rapportent. 



Nous renverrons de nouveau au mémoire même pour d'autres résultats 

 déduits de quelques transformations ou des hypothèses particulières. On 

 n'expliquerait pas facilement ces résultats sans le secours des signes algé- 

 briques. Nous nous contenterons de la remarque qu'ils se déduisent tous 

 de la formule fondamentale, aussi commodément et avec autant de facilité 

 que s'il était question des théories dynamiques incomparablement plus simples 

 que celle des isopérimètres. 



Enfin, par l'emploi de deux caractéristiques différentes des variations 

 appliquées simultanément à l'équation fondamentale, on est conduit immé- 

 diatement à un théorème bien plus général, mais analogue à celui que 

 Lagrange a pris pour base de ses recherches sur les variations des con- 

 stantes arbitraires dans les questions de la Dynamique. Nous établissons 

 pour le problème des isopérimètres , une théorie de la variation des con- 

 stantes arbitraires. 



Nos recherches ont sans doute de l'analogie avec les procédés employés 

 dans la Dynamique, cependant il ne faudrait pas en conclure que nous 

 n'avons fait qu'imiter ces derniers. S'il en était ainsi, les théories que nous 

 avons établies, le seraient depuis longtemps, par le premier géomètre qui 

 aurait connu celles de la Dynamique. Nous croyons nous être mis sur un 

 point de vue qui nous est propre, et d'où l'on découvre les propriétés de 

 ce système d'équations différentielles, aux degrés pairs, à un nombre quel- 

 conque d'inconnues qui se rapportent au problème des isopérimètres et dont 

 les équations de la Dynamique ne sont qu'un -cas jtrès particulier. Les 

 procédés de cette science ont de l'analogie avec ceux que nous proposons 

 actuellement, parce qu'ils sont basés sur un principe qui est pour la Dy- 

 namique, ce que notre formule fondamentale est pour le problème des iso- 



