Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 397 

 Ja formule (4) se réduira à celle-ci 



<t=m A^=«— 1 

 i=i A— 0 ' 



et, de cette manière, il s'établira une relation très remarquable, convertissant 

 une variation exacte en une difFérentielle exacte, mais qui, pour le fond, 

 n'est que l'équation même 



i=m 



(6) ^ ^ièco- 



i=\ 



qu'on vient de poser. En effet, des deux formules (6) et (7), ne supposons 

 que la dernière, et la combinant avec l'identité {h), indépendante de toute 

 bypbthèse, on trouvera immédiatement l'équation (6) et rirn de plus. L une 

 des deux équations , (6) et (7) , conduisant à l'autre , il s'ensuit qu elles 

 n'expriment qu'une même relation sous deux formes différentes: par con- 

 séquent, elles fourniront toujours les mêmes résultats, mais elles les four- 

 niront l'une plus facilement que l'autre, et c'est en cela que consiste 

 l'avantage à les considérer simultanément. En supposant dans la formule 



(7) 01=0 nous aurons 



i=m k=n — 1 



(8) bVdt = d S ^ hk^^i^^ 



i=m k=n i—m k-=n — 1 



(8) dt Z S ^8o>y^' = d^ S ê-M'"'- 



L'équation (6) peut être considérée sous deux points de vue, comme 

 une relation entre les variations dco, ou bien comme une liaison entre les 

 fonctions x. Considérée sous le premier point de vue, l equation dont il 

 s'agit servira à éliminer une des variations 



dù)i , 8(0^ , §00^ ô(o^^ 



ou, ce qui revient au même, à les déterminer toutes par m — 1 d'autres 



