Squattons différentielles dans le problème des isopérimètres. 399 



Nous allons nous occuper de ces équations qui , on vient de le dire, 

 se rapportent au problème des isopérimètres. Elles comprennent, comme cas 

 très particulier, les équations de la Dynamique; car on aura celles-ci en 

 supposant que la fonction V ne contient point les dérivées des quantités ac, 

 plus hautes que les premières, et qu'elle ait de plus, par rapport aux déri- 

 vées du premier ordre, une composition particulière fort simple; savoir; 

 qu'elle n'en soit qu'une fonction rationelle et entière du second degré. 



Nous avertirons de nouveau le lecteur que, pour faciliter le discours, 

 on s'exprimera comme si les dérivées de x, les plus hautes qui soient dans 

 F, étaient toutes d'un même ordre n Nous le prions de modifier conve- 

 nablement nos formules, si cela devenait nécessaire. 11 n'aura qu'à supprimer 

 les différences partielles de la fonction V par rapport aux dérivées qui ne 

 s'y trouveraient pas. 



Les équations différentielles (9) sont de l'ordre 2a, et leur nombre, 

 égal à celui des inconnues x, est m. H convient de les remplacer par 2nm 

 équations du premier ordre entre 2nm inconnues. Pour cela il n'y a qu'à 

 considérer comme inconnues, non seulement les fonctions ce, mais encore 

 leurs dérivées jusqu'à l'ordre 2n — 1 inclusivement; alors les fonctions à 

 déterminer présenteront, en effet, un total de 2nm quantités, qui seront 

 liées, d'abord, par les formules du premier ordre 



= x-dt, dx! = x''dt, dx'-' = xj^dt, <^£c/*"-») = x^"'-'^dt 



dont le nombre, à cause de la variabilité du n" i, est 2nm — m; puis, rem- 

 plaçant dans les équations (9) les 2n'""^^ dérivées, respectivement par 

 ^^■^Can-i) rfr^^a^-i) dx^m-i) dxj'i"-^ 

 dt ^ 'df ' ~dr "df 



on obtiendra encore m équations qui manquaient pour qu'il en eut autant 

 que d'inconnues. 



Mais les fonctions tout-à- l'heure prises pour les inconnues, ne con- 

 viennent pas toutes également au problème des isopérimètres. Nous n'en 

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