Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 403 



fonctions x plus élevées que n^"", qui sont étrangères à la question et n'en- 

 trent point dans la quantité O. On pourrait , ainsi que nous l'avons déjà 

 dit, employer ces formules, après qu'on aura trouvé les variables pour 

 obtenir les dérivées des x dont l'ordre surpasse n, si toutefois on ne préfère 

 pas, pour cet objet, la voie de la différentiation. 



Hemplaçant la première partie de l'équation (12) par 



- ^ ^,^0 '^1','^ 



nous aurons la formule 



i = m k=n-l 



(13) S S ((^|,.^(5«/*> — <;cc/*)5«,J =r 



lz=k 1=0 ' 



laquelle, eu égard à ce que les variations dco, étant absolument arbitraires, 

 ne peuvent satisfaire à aucune équation, se décompose et donne les 

 relations 



(14) < 



qui, par la variabilité des n"^ i et k, représentent 2nm équations différen- 

 tielles, entre les inconnues en même nombre. 



Les formules (14) sont les équations différentielles du problème des 

 isopérimètres, mises sous la forme la plus simple qu'on puisse leur donner. 

 Les géomètres sont déjà parvenus à donner la même forme aux équations 

 générales du mouvement. Ainsi, quoique la Dynamique ne soit qu'un cas 

 très particulier du problème des isopérimètres , cependant ce problème et 

 le mouvement des systèmes dynamiques dépendent des équations différen- 

 tielles de la même forme et nous ferons voir qu'il en est de même relati- 

 vement à leurs intégrales; ce qui nous paraît bien remarquable. 



