Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 409 



donc 



k=n—\. , . ^ . k=n ^ . , k=n—\ 



La différentielle dont nous avons à établir l'exactitude, deviendra en con- 



séquence 



j=m k-=.n Trr i=m A=n— 1 



Or, dans l'hypothèse admise que les a: avec leurs dérivées sont des variables 

 indépendantes, nous aurons, en ne difïérentiant que par rapport à ces va- 

 riables sons faire changer le temps t, 



i=m k=n , sr^ , 



et par suite la différentielle en question se réduira à 



i=m k=n—l 



dv— d ^ X in^t^' 



OU bien à 



d{v—T) = de 



Ainsi 



i=m k=n — 1 / , rr^ v a ' 



Rien n'empêchant de supposer, dans cette équation, la quantité 0 libre des 

 dérivées rf^^^ des x, nous en conclurons les formules (i^); à cause que les 

 différentielles et d^i^j. sont censées indépendantes les unes des autres 



et entièrement arbitraires. 



L'analyse par laquelle nous avons établi les équations du problème des 

 isopérimètres, et les équations même qui en sont les résultats, se trouve- 

 raient en défaut dans le cas particulier où les formules 

 dF _ ^jdF_ _ ^ JF_ _ JF _ 



St,n-i' ^^^(«j S2,n-1> a^^{n) Si,n—i' dxj^'''^ Sm^n—l 



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