Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. -il 3 

 (7) dfVdt-t-'^ ^~ir^§.^8co.'^^)= b[Vdù 



^ i=i k=Q ' 



OU plutôt la seconde partie, car la première est intégrable d'elle-même 

 quelles que soient les Boj. La détermination dont il s'agit ne paraît pas 

 facile en général, mais elle peut avoir lieu dans des cas particuliers. Par 

 exemple, si la dérivée partielle 



ne renferme point les fonctions x ni leurs dérivées, on rendra la variation 



8{ydt) 



une différentielle exacte en faisant, quels que soient les n'*^ i et k 

 En effet, nous avons généralement 



i=m k=n 



donc, dans l'hypothèse 



S(of^ = dxS^\ 

 d{Fdt) = d{Vdt)^dt'^'^'^^^^,dx.^'\ 



Or 



dV ^ ^dt-^'lS'^T/^^.dx^'^ 



{Vdt)=d{V8t)-^dt s' ":s^'™5w/'^> 



S en suit 



8{Vdt) = d{VBt) H- dVdt — dt'' 



et la formule (7) deviendra 



i=m k=n—\. .^r 



dS S ^ xl'-^^^ = dV-^^dt 



ou bien 



dT = dr—~dt 



