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5. Laissant les variations bco tout-à-fait arbitraires, intégrons la formule 

 (7) relativement au temps, nous aurons 



i=.m k=n — 1 



(21) Vdt-t- S ^ |;^a«/^> =/5(FJï)-»-Gonst. 



i=l k=0 ' 



ou bien, comme par les principes du calcul des variations, il est permis 

 de faire sortir la caractéristique d en dehors du signe intégral : 



i=m k=n — 1 



(21) Vbt-^ E S ^ifpcoS^'^ = 8/Fdt-*-Const. 



et si, en remplaçant par sa valeur ôxS"'* — x^^~^^^8t, nous écrivons T 



au lieu de la somme 



i=m k—ii — 1 

 et O au lieu de V — T, nous trouverons 



i=m k=n — 1 



(21) 0dt-t- E S ^Sx.'^^^ = §/Fdt-i- Gonst. 



i=l k=0 



La seconde partie de la formule (21) renferme une intégration inexécu- 

 table, car nous admettons que la fonction dififérentielle 



Fdt 



n'est point intégrable, et il en résulte nécesisairement que la variation 



d{Fdt) 



ne l'est pas non plus. 



L'hypothèse où Fdt serait une différentielle exacte, rendrait identique la 

 formule (7) ainsi que les équations (9), et ne conduirait à aucun résultat. 

 En effet, en faisant 



Fdt = dU 



on aurait 



