Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 4^21 



(25) d/Tdt = 0, 

 et l'on en conclura que l'intégrale 



(26) /Tdt 



prise entre les limites convenablement déterminées est un minimum. Ce 

 qui est un autre énoncé du principe de la moindre action et celui qu'on 

 préfère en Dynamique. 



En partant de la formule (25), Lagrange retrouve les équations (9) 

 ou (H), ou ce qui revient au même, la formule (7). Nous allons repro- 

 duire son analyse à quelques modifications près. Et d'abord, pour n'avoir 

 point égard aux hypothèses particulières relatives aux limites de l'intégrale, 

 nous nous servirons, au lieu de (25), de la formule (2k) qui est libre de 

 ces hypothèses. En y remplaçant T par F — 0, nous aurons 



i=m k=n — 1 



hfVdt = S ^ I . ^5ic/^> H- h fOdt -+- m -H Gonst. 



Mais on trouve, en remplaçant 0 par — h, 



b/edt -+-tdh = — hdt -+• Gonst. = 0St -+- Gonst. 



donc 



i=m k=n — 1 



(21) Ô/Fdt = 08t-t- S S -I- Gonst. 



i=i k^o 



il n'y a qu'à difFérentier ce dernier résultat pour arriver à la formule (7). 



Le principe de la moindre action, généralisé de manière à convenir 

 au problème des isopérimètres, consiste en ce que la plus petite valeur de 

 l'intégrale 



/Tdt, 



prise entre les limites convenables, répond aux quantités ,:r et ^ fournies 

 par les équations (l'»'); en supposant toutefois qu'on ne cherche les quanti- 

 tés dont il s'agit que parmi celles qui satisfont à l'équation des forces vives. 

 Ainsi, en prenant, pour les x et les § des valeurs quelconques, de celles 

 qui vérifient l'équation 



(20) 0 H- ^ = 0 



