Equations différentielles dans le problème des iscpérimètres. 



sans restreindre la généralité des variations que cette caractéristique indique, 

 sans les assujettir à une relation, elles qui étaient d'abord arbitraires. Cette 

 remarque fort simple paraît avoir échappée à Lag range, aussi l'analyse 

 du grand géomètre *) ne nous semble pas irréprochable. 



Faisant abstraction des formules (l'i'), supposons que les x et les ^ ne 

 soient liées que par l'équation (20) et ne considérons, pour le moment, 

 d'autres x ni d'autres ^ que celles qui remplissent l'équation dont il s'agit; 

 en sorte que les x-^-dx et les qui sont comprises pnrmi les valeurs 



que les x et les § représentent, satisfassent aussi à cette même équation (20). 

 Nous aurons 



ou bien 8{0dt) -t- 8{hdt) = o 



Remplaçant O par F — T, la dernière équation pourra s'écrire comme 

 il suit 



â{Tdt) = 8{Vdt)-^d 8{ht) 

 et nous en conclurons que les deux variations 8{Tdt) et 8{Vdt) sont inté- 

 grables en même temps, ou qvie l'intégrabilité de l'une entraîne celle de 

 l'autre. Ce qui est le résultat de Lagrange; mais présenté comme nous le 

 faisons', ce résultat devient évident; il ne peut constituer aucun théorème. 

 En effet, que veut- on conclure de l'intégrabilité simultanée de deux v^a- 

 riations 8['rdt) et 8{Fdt)? En supposant d'avance 



84 = 8B, 



autant vaudrait chercher à tirer quelque chose de ce que les variations 

 8A et 8B sont intégrables en même temps. A ei B étiint des fonctions des 

 X et les ôx étant liées par l'équation même 



8A = 8B, 



*) Mécanique analytique, tome 1 pages 296 et les suivantes. 

 Mém. FI. Sér. Se. math, et phfs. T. IV. 



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