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dira -t- on que l'intégrabilité de 8[Fdt) exigeant les équations (l^), celle de 

 d{Tdt) sera satisfaite par les mêmes équations? Mais on demandera trop; les 

 équations (ik) rendent d{Fdt) intégrable quelles que soient les dx^ et actuel- 

 lement il ne s'agit que des dx liées par l'hypothèse 

 Ô{e-^h) = 0. 



Et si l'on ne suppose que les équations (14-), sans l'hypothèse dont on vient 

 de parler, la variation d(Vdt) sera intégrable, mais d{Tdt) ne le sera pas, 

 puisque l'équation 



8{Tdt) = d{Fdt)-t-d.d{ht) 



n'aura pas lieu. 



En partant de l intégTabilité de la variation 8{Tdt), Lagrange retrouve 

 les équations (9) ou (H), mais l'analyse du grand géomètre est inexacte. 

 En voici le sommaire convenablement modifié. 



La variation d{Tdt) est une différentielle exacte; or T= V — 0, donc 

 8[Fdt) — 8{0dt) ou, à cause de 0= — h, 8(Fdt) -t- d8[ht) l'est aussi; mais 

 d8{ht) est visiblement intégrable: par conséquent 8{Fdt) le sera également. 

 Or en cherchant les conditions d'intégrabilité de 8{Fdt) on retrouvera les 

 équations (9) ou (14). Mais on ne les retrouvera quen libérant les 8x de 

 toute relation mutuelle, et si l'on admet 



8{0-t-h) = 0 



on n'y parviendra plus. 

 En supposant 



0-t-h = O et 8{0-^h) = O 

 déterminons les conditions d'intégrabilité des fonctions 8{Tdt) et 8{Fdt). 

 Ces conditions devant être communes aux deux fonctions, n'en considérons 

 qu'une seule, par exemple la première. 



On sait que la question revient à rendre intégrable, pour les valeurs 

 entièrement arbitraires de 8x, la somme 



8(Tdt)-t-?,dtd{0-t-h); 



