Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 425 



le facteur X étant une fonction de la variable indépendante. Nous modi-' 

 fierons l'expression précédente en la remplaçant, ce qui est permis, par 

 celle - ci 



d.dtiT-^i^e-^h)-]; 



car les deux expressions, eu égard à l'équation des forces vives, ne dif- 

 fèrent pas entre elles. 



La modification que nous adoptons, est tout-à-fait indifférente dans la 

 question qui nous occupe, mais elle n'est pas sans utilité dans la théorie 

 des maxima et des minima, et particulièrement dans cette partie de la 

 théorie dont il s'agit , qui s'occupe à distinguer les maxima des minima. 

 Nous reviendrons sur cet objet dans une note spéciale. 



En remplaçant X par X-\-i et T-t-O par F, la quantité à rendre inté- 

 grable deviendra 



ë.dt[V-t-h-t-X{e-t-h)] 

 ou bien, parce que la variation 



d.hdt = d Ô.ht 

 est toujours intégrable d'elle-même, elle se réduira à 



8.dt[V-i-X{0-^h)l 

 Or , la question à rendre la variation précédente une différentielle exacte 

 revient à l'intégrabilité de 



d{Fdt), 



dans l'hypothèse 



5 (0 H- A) = 0. 



Ainsi le problème des isopérimètres et le principe de la moindre action 

 exigent, tous les deux, que la variation 



8{Fdt) 



soit intégrable, mais le premier demande qu'elle le soit pour toutes les va- 



