Équations différentielles dans le problème des isopér mètres. 4^39 



quantités nommées tout- à l'heure et s représentait un numéro variable de 

 1 à 2/im inclusivement. 



On peut assigner à la fonction S des modes de composition très divers. 

 En effet, après avoir rendu la différentielle Fdl intégrable par raport à t, 

 à l'aide des équations {ih), et après l'avoir intégrée, on trouvera 



S = fVdt 



en fonction de quelques unes des quantités t, les x, les ^ et les a; car, 

 pour rendre Vdt intégrable, le plus souvent, il ne sera pas nécessaire de 

 réduire F à ne contenir que t et les a. Mais quelle que soit la composition que 

 l'intégrale iS* posséderait, immédiatement après qu'elle ait été obtenue, on 

 pourra toujours y introduire, en vertu des relations (37), 2mn 1 quan- 

 tités choisies à volonté parmi les hmn -h 1 grandeurs t, les x, les ^ et 

 les a. Or, et par la faculté que nous avons de choisir les 2mn h- 1 quan- 

 tités sur 4mnH-l, et parce que les constantes arbitraires o, introduites 

 par l'intégration des équations différentielles, loin de former un système 

 fixe et déterminé de 2mn quantités, représentent au contraire des systèmes 

 indéfiniment variés; nous sommes évidemment en état d'assigner à la fonc- 

 tion 5* un nombre illimité de compositions différentes. 



Concevons une quelconque de ces compositions. En partant de la for- 

 mule (32) et faisant usage de la méthode des facteurs indéterminés, nous 

 trouverons cette relation générale 



i=m /c=n— 1 s='imn 



(38) dS = Const. -t- Vdt -i- ^ E ^ ^.^F, 



où la variation 



est relative à toutes les quantités que renferme, en sorte que 



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