Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 4^13 



qui offre, outre 8t, mn différentielles d(o et puis toutes celles, qui sont com- 

 prises dans la constante désignée par Gonst. et dans ôS. Il convient de ré- 

 duire cette formule à ne contenir que les différentielles indépendantes entre 

 elles et arbitraires, afin qu'on puisse égaler respectivement leurs coefficients 

 qui sont dans la première partie de la formule, à ceux qui se trouvent dans 

 la seconde. Pour opérer la réduction dont il s'agit il est nécessaire de mettre 

 en évidence les différentielles contenues dans la quantité Gonst. et dans èS- 

 mais on n'y parviendra qu'en fixant l'origine de l'intégrale 



S = fVdt. 



Désignons par t la valeur de t relative à cette origine: r étant zéro, ou 

 ayant une autre valeur convenablement fixée, Nour aurons 



{k\) s=/rdt, 



t 



d'où, par le principe du calcul des variations, en considérant 5 comme fonction 

 de f, de r, des quantités x et des mn constantes a, 



iz=m A=rt— 1 Tr, k=mn ,„ 



" i=i A=o <^^r^ r=l ' 



La lettre représente la valeur de V pour ï = r. Mais comme d'un au- 

 tre côté 



, - i=mk=n—{ rç v=mn .ç 



de dx .^j ' da^ ^' 



nous aurons en comparant 



(33) f^y 



Les dérivées ^ et ^supposent qu'on fasse varier tout ce qui varie avec t et t. 



