Equations différentielles dans le problème des isopérimètres. 445 



formule, soient précisément les valeurs initiales des x, que nous venons de 

 désigner par nous aui'ons alors 



r=mn I=m k=n—i 



^ ^'"r = ^ ^ ^a».'" 



et par suite 



i=m k=n—l i=m A=«— 1 



= ï k=Q ' ' J=:l A=0 



Cette équation ne renferme que 2mn différentielles 8 dont mn, celles des con- 

 stantes a/^^ introduites par l'intégration, sont entièrement arbitraires, et dont 

 les autres Sa peuvent être supposées également arbitraires, puisqu'elles sont 

 dues aux variations, absolument quelconques, de toutes les 2mn constantes 

 de l'intégration. Nous aurons, en conséquence, les équations 



dS 



qui sont les intégrales, sous une forme bien remarquable, des formules dif- 

 férentielles (H). Mais pour pouvoir en faire usage, il faut trouver la fonction 

 4^' et la mettre sous la forme que nous venons de lui assigner, ce qui exi- 

 gera et l'intégration des équations (ik) et les éliminations convenables. On 

 n'obtiendra donc les intégrales des formules (1^), sous la forme (^1^3), qu'a- 

 près les avoir intégrées sous une autre forme quelconque, ce qui diminue 

 très considérablement l'importance des équations (^^3). Elles fournissent ce- 

 pendant un résultat fort remarquable, en nous montrant que les inconnues ^ 

 peuvent être représentées par les différences partielles d'une même fonc- 

 tion S. Profitant de cette circonstance, nous pourrons quelquefois trouver 

 les intégrales des formules (l't)^ sous la forme {^2), ne connaissant qu'une 

 partie de ces intégrales sous une autre forme quelconque. 



