Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 447 



nous éliminons m dérivées £c/"\ a^2*"^ "^3^"^' • • • ■ ^w^"'' nous obtiendrons 

 une relation entre le temps les inconnues de la question, c'est-à-dire les 

 X et les ^, et la fonction O. En remplaçant, dans cette relation, les ^ par 

 les dérivées partielles correspondantes de 5", savoir: et par 



ds 



et en y mettant 



dt 



à la place de 0 , il nous en viendra une équation , que nous représente- 

 rons par 



(45) <p =0, 



entre le temps , les inconnues x et les dérivées partielles de la fonction S. 

 Cette fonction elle même n'y entrera point ; il s'en suit, que si une valeur 

 quelconque prise pour S satisfait à l'équation 



(4-5) (f = 0 



la même valeur augmentée d'une constante arbitraire y satisfera encore. Ce 

 qui est au reste une suite nécessaire de ce que la fonction S représente 

 une intégrale , elle doit, par conséquent, contenir une constante arbitraire, 

 combinée avec d'autres quantités par la simple addition. A la vérité, la 

 fonction S doit encore s'évanouir pour t = r, ce qui déterminerait la con- 

 stante dont il s'agit, mais cette circonstance n'est pas indiquée dans l'équa- 

 tion (45) qui a lieu indépendamment de l'origine de l'intégrale S. 



Remarquons, puisque l'occasion s'en présente , qu'une équation à diffé- 

 rences partielles du premier ordre, comme (45), réunie à la condition 



S = 0 



pour t =z déterminerait complètement la fonction S. Mais il n'en est pas 

 ainsi dans le cas actuel; car, réellement, il n'est pas question des diffé- 

 Mém. ri. Sér. Se. math, et phjs. T. IV, . , 58 



