OSTROGRADS KY. 



rences partielles; puisque les x ne sont pas des variables indépendantes, 

 mais bien fonctions du temps, et la condition 



5 = 0, 



relative à < = r , a lieu non pas quelles que soient les x , mais elle exige 

 qu'on remplace ces variables par leurs valeurs initiales. 



Au lieu de (4-5) nous pouvons nous servir de l'équation {kk) en y rem- 

 plaçant les quantités | contenues dans O, par les dérivées partielles correspon- 

 dantes de iS. La fonction O étant supposée d'ailleurs libre des dérivées rf^^^ 

 des X et ayant la même composition que dans les équations (14). De cette 

 manière, l'équation (kk) de même que (45), sera une relation entre les va- 

 riables t, les X et les dérivées partielles de S, par rapport à ces mêmes va- 

 riables. La fonction S elle même n'y entrera point. Il est visible au sur- 

 plus que les équations {hh) et (4-5) reviennent au même , la première étant 

 la seconde, résolue par rapport à la dérivée 



ds 



dt 



En n'assiijétissant la fonction S qu'à salisfaire à l'équation aux diiîé- 

 rences partielles {kk) ou (45), cette fonction, loin d'être complètement dé- 

 terminée, sera au contraire susceptible d'une infinité de formes diverses. Or 

 il est bien remarquable qu'à l'aide d'une valeur quelconque de iS", vérifiant 

 l'équation qu'on vient de citer, on satisfera aux formules (14) en prenant 



dS ' 



les numéros i et k ayant d'ailleurs toutes les valeurs dont ils sont suscep- 

 tibles. Pour nous en assurer, substituons les dérivées de S au lieu des 

 |, dans les équations (14), et difFérentions par rapport à t, ayant soin de 

 faire varier tout ce qui change avec cette variable , la valeur (46) de | ; 

 nous aurons 



