Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 449 

 et par suite les équations (ik) deviendront 



ou bien 



^.(^) = _ f_ Ji. 



Nous supposons qu'après la différentation , les | contenus dans & sont 

 remplacés par les dérivées correspondantes de 5". 



Gomme suite de l'hypothèse (4^6), les équations qu'on vient d'écrire au- 

 raient lieu quelle que soit la fonction 5, mais rappelons nous que S satisfait 

 à l'équation ('i-'i') et la rend identique indépendamment des quantités x et 

 t; donc en dilBFcrentiant l'équation dont il s'agit par rapport à x/''*, nous 

 aurons identiquement 



d^S _ d@ d'^S 



dtd^) — dxi^y ~*~ ^/^o '^^'■'z'^' dTphîTf^'i 



La première des équations qui remplacent les formules (H), devenant 

 ainsi identique, les formules dont il s'agit se réduiront à 



{kl) dxS'^ =^^^dt; 



en conséquence, au lieu de 2mn équations refermant 2mn inconnues x et ^ 

 nous n'en aurons que mn et qui ne contiendront que les inconnues x. 

 En différentiant l équation {kk) par rapport à a;/^\ nous n'avons écrit 



dQ 



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