Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 4.51 



ces constantes donnerait une intégrale des équations (4^7). En effet , en 

 désignant par a une des constantes dont il s'agit , nous aurions l'intégrale 

 suivante 



ds 



~dîr 



où la lettre a représente une nouvelle constante arbitraire. 



Pour prouver cette assertion, différentions l'intégrale supposée 



ds _ 



da 



par rapport à « , et en faisant varier les x qtii en dépendent, nous aurons 



d^S _^ ^=2"* _ dxp) ^ ^ 



dtda . j ^ Q dadx^^^ dt 



En remplaçant '^^^j— par sa valeur 



fournie par l'équation différentielle (4^7), il vient 



^'5 _ ^=^-^_dQ_ d^S 



dtda — j d^i^/^ dadxi^^) 



Ce résultat doit être identique, si l'intégrale présumée en est réellement 

 une. Or le résultat dont il s'agit n'est que la dérivée par rapport à la con- 

 stante a de l'équation identique (k-k). En effet, en différentiant cette équa- 

 tion relativement à la quantité a, et remarquant que cette quantité n'entre 

 dans O que parce qu'elle est contenue dans 



nous aurons identiquement 



d^S _ JO_ d'^S 



dtda ~ .^^ dadxi^^i 



