452 



OsmOGRADSKY. 



Chacune des constantes a fournira semblablement une intégrale des 

 équations (J^^). 



Il résulte de ce qui précède, que si la fonction S contenait mn con- 

 stantes arbitraires 



outre celle qui entre par la simple addition et que, pour abréger le discours, 

 nous désignerons par C, nous aurions toutes les intégrales des équations 

 {kl), et par suite toutes celles des équations (14); les dernières seraient 



ds 



Les numéros i, k, r ont les valeurs comprises respectivement entre les 

 limites: 1 et m, 0 et /c — 1, 1 et mn , sans en excepter les limites mêmes, 

 et désignant une nouvelle constante arbitraire. 



Si la fonction iS* contenait moins que mn constantes û, nous n'aurions, 

 par ce qui précède, qu'une solution particulière des équations (14-): et encore 

 ne la ti-ouverions-nous qu'après avoir achevé l'intégration des équations (4-7); 

 car alors la fonction S n^en fournirait pas toutes les intégrales. Et si S 

 contenait plus que mn constantes a, on arriverait à une solution complète des 

 équations (H), mais qui ne différera réellement pas de celle qui aurait lieu 

 pour le nombre des a précisément égal à mn, car on peut s'assurer, par la 

 théorie des équations à différences partielles , que les intégrales (48) , bien 

 que leur nombre surpasserait 2nm, ne représenteraient pas plus de 2mn re- 

 lations réellement diflférentes entre elles, et ne renfermeraient pas plus de 

 2nin constantes arbitraires distinctes. 



On appelle, d'après Lagrange, une solution complète ou une intégrale 

 complète d'une équation à différences partielles , toute fonction de variables 

 indépendantes qui , satisfaisant à l'équation , renferme autant de constantes 

 arbitraires qu'il y a de variables indépendantes. La valeur de S qui résoud 



