Équations différentielles dans le problème des ùopérimètres. 453 



les équations {\k) est donc une intégrale complète de l'équation {hk) , ou 

 (Ît5); car, satisfaisant à cette équation, elle renferme ma-i-1 constantes arbi- 

 traires, dont l'une C y entre comme terme isolé, et mn autres constantes a y 

 sont mêlées avec les variables indépendantes; or le nombre de ces dernières 

 est précisément mn -t~ 1: savoir t et mn quantités a;, qui sont considérées 

 dans l'équation (^'i') comme indépendantes. 

 La fonctio i 



S = jrdt 



de t et des quantités x que nous avons considérées dans le n" précédent, 

 et qui, au lieu des constantes quelconques a, contient les valeurs initiales des 

 variables est aussi une intégrale complète de l'équation [hk). Nous avons 

 vu, a priori, qu'elle fournissait les intégrales (4-3) des équations (l 's )^ mainte- 

 nant nous nous sommes assuré a posteriori qu^elle n'est pas la seule qui 

 jouisse de cette importante propriété, que toute solution complète de l'équa- 

 tion ('i-'i'), ou (45), conduit au même but; c'est-à-dire fournit les intégrales des 

 équations relatives au problème des isopérimètres. 



Nous ferons observer aussi que toute solution coi ' S de l'équation 

 [kk) donne cette relation différentielle 



dS = Vdt 

 En eflfet : nous avons en différentiant 



dS = ^dt -^ 2 S dx.''' 



ou bien 



savoir 



dS = edt dl'£^ £ * x'''-*-'^ 

 ,=1 k=o 



dS = {O -t- T) dt = Vdt 



