Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 455 



à-dire de a/^' et a^-^, en y mettant, en vertu des formules (43), la 

 dérivée 



dS 



au lieu de a^-^ nous obtiendrons l'équation 



entre les quantités a, les dérivées partielles, par rapport à ces quantités, de 

 la fonction S et la dérivée de celle-ci relative au temps. Ainsi dans le cas 

 particulier que nous allons examiner S vérifiera à la fois les deux équations 

 (^'i^) et (49); mais il s'entend de soi-même que \'S dont il s'agit ne sera pas 

 une solution complète quelconque de l'équation {\k), mais bien cette solution 

 complète particulière où les constantes arbitraires sont les valeurs initiales 

 des variables x. 



Si nous remplaçons dans la première des deux équations 



0 -H A = 0 



6>o -H = 0 



les |, et dans la seconde les « par les dérivées correspondantes de S, nous 



trouverons d'autres équations, à différences partielles, que la même solution 



complète vérifiera et qui ne contiendront point la dérivée 



ds 

 Te 



Nous reviendrons sur la première de ces deux équations. 



Restituons à la fonction S toute sa généralité en ne l'assujétissant qu'à 

 satisfaire à l'équation (44), eu (45), comme solution complète. 



En vertu du principe des forces vives, l'équation (44) deviendra 



donc, en l'intégrant, 



5 = — A< -H iî 



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