Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 4-59 



qui en tient lieu, a été employée à obtenir les valeurs dont il s'agit. Nous 

 aurons donc identiquement 



0 ^ h = 0. 



Différentions cette équation en y faisant varier, tout à fait arbitrairement, et 

 les constantes arbitraires et les variables (os)-, nous trouverons identique- 

 ment 



en multipliant par dt et remplaçant 



(le ^ de 

 Z:^kldl et ^^di 



par leurs valeurs fournies par les équations (14), nous aurons, mais pas 

 identiquement, 



k=m k=n — 1 



(56) dhdt ^ E E {dxl^^ d^ij^hxS^^). 



i=\ k=0 



Cette équation renfermant 2inn variations entièrement arbitraires, savoir: 

 inn variations des quantités (a) et autant de variations des constantes arbi- 

 traires, se décomposera en 2mn équations particulières, qui dépendront des 

 quantités qu'on aura prises pour (a) et pour (^^). 



Supposons, pour fixer les idées, que les dernières soient les variables § 

 ce qui veut dire en même temps que les premières, c'est-à-dire les (a), sont 

 les X. En compai'ant d'abord les coefficients des variations dh et les §a 

 dans les deux membres de l'éqjiation (56), nous aurons 



i=m k—m—i ,t ■ 



(57) dt = S E ^ dxS^^ -, 



i=\ k=o 



et, quelle que soit la valeur du numéro r, ^ 



i=m k=m — 1 



(58) 0 = ^ E ^dxS^^ 



