Équations différenlielles dans le problème des ïsopérmètres. 469 



En multipliant par dt et remplaçant les dérivées partielles de O par leurs 

 valeurs que fournissent des équations (14-), les deux premières de ces iden- 

 tités deviendront les équations suivantes 



dt 



(65) 



-m kz=n 



ou hien, eu égard aux formules (63) et {Gh) 



dt = d(f - 



(66) 



0 



YdR 



z=m k=n- 

 = 1 A=0 



-m A=n — 1 

 -0 



d'où l'on tire immédiatement les 2mn — / intégrales suivantes 



=1 A=0 ^^«^ ^ 



67) 



dh 



i=m k=n-l ^ (i) 

 /=1 A=0 



:1 A=0 ' 



En combinant ces intégrales avec celles que nous supposons avoir 

 obtenues précédemment, et qui sont au nombre de 2mn — /, on en aura en 

 tout kmn — 2/ intégrales; mais elles doivent se réduire, par la nature des 

 équations différentielles (H), à 2mn intégrales distinctes. 



Après avoir trouvé autant d'intégrales des équations {ik) qu'il en faut 

 pour que la formule 



