Équations différentieUes dans le problème des isopérimètres. 475 



tions du problème, on arrivera à des résultats identiques. Ainsi nous aurons 

 identiquement 



dx dx d^^ dx' 



0 — -+- — H- — '^^^ 

 dx' d$ dx d^i dx'' 



D'un autre côté, l'intégrale 



0 ^ h = 0, 



en y remettant piur § et §^ leurs valeurs en x, x' , h et a , deviendra 

 identique; donc elle fournira, par la difFérentiation tant par rapport aux va- 

 riables X et X que relativement aux constantes h et o, les quatre identités 

 suivantes 



0 — — -H ^ ^ ^1 



dx di dx dii dx 



_ d& d0 di de dii 



~ dx' ~*~ di dx' ~*~ d^i dx' 

 " "~ d| «//i rfli Ih 



0 — — 



c?| da, dlj da 



dont les deux premières, comparées aux deux résultats également identiques, 

 trouvés tout-à-l'heure, donneront identiquement 



dx' dx 



Ce qui nous montre que les variables ^ et peuvent être considérées 

 comme dérivées partielles d'une même fonction de x et x\ Nous aurons 

 donc, en appellant R cette fonction, 



^ _dR^ ^ _dR 

 S — dx' — ^/ 



et par suite :,hri<] v/. - 



