^nattons différentielles dans le problème des isopérimètres. 477 



Supposons maintenant que la fonction V renferme deux inconnues, mais 

 qu'elle ne soit que du premier ordre par rapport à ces quantités. Ainsi 

 en désignant les inconnues, pour éviter le numérotage, par x et y , nous 

 nous proposons d'examiner le cas de 



V = fonct. (ce, y, x', y). 



Faisons 



dx' ^' 



SF' = "^^ 



e — V — ^x' — rjy' 

 et éliminons X' et y'\ nous obtiendrons une équation par laquelle nous 

 pourrons considérer O comme fonction des variables x, y, § et tj. A l'aide 

 de cette fonction 0, formons les quatre équations différentielles 



dï] = —dt 

 dx = — ^dt 



dy= - -^dt 



elles seront celles du problème et elles exigeront, pour être complètement 

 résolues, quatre intégrations. Or le résultat de l'une de ces intégrations 

 est l'équation 



des forces vives. Supposons, que par des procédés propres au cas particu- 

 lier que l'on considère, on trouve encore une intégrale 



y = 0 



avec une constante arbitraire o, il restera à trouver deux intégrales 



