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(69) d\ JOht — hQAt -t- ^ ^ 5cc/^> — h^.^ //ic/'^>1=0; 



L- ,-=1 A:=0 ' ' 



par suite, en intégrant, 



(70) ziQht — hQAl 5£c/^> — 0^,.^ Jx-^^^) = Gonst. 



Nous désignons par Gonst. une quantité indépendante du temps 



Quelque simple que paraisse l'analyse qui nous a conduit à l'équation 

 (70), elle se trouverait cependant en défaut si nous ne restreignions pas 

 convenablement les différentielles 8 et J ; car il est facile de s'assurer 

 qu'outre la condition 



8J = Jd, 



que nous venons de poser, les différentielles dont il s'agit doivent en remplir 

 une autre, que nous allons faire connaître. ' ' 



Nous sommes parti de la formule (68) et nous y avons remplacé S 

 par J. Rien n'est plus exact que cette formule qui résulte des premiers 

 principes du calcul des variations, et il est certainement permis d'y rem- 

 placer 8 par z/, puisque la caractéristique 8 représente une différentielle ab- 

 solument quelconque. Mais il ne faut pas perdre de vue que la formule (68), 

 et par suite celle qui en résulte par le changement de 8 en zf, suppose les 

 équations (9) ou (l'i-) auxquelles les inconnues, tant les x que les ^, doivent 

 satisfaire. Ges équations n'auraient pas intéressé le moins du monde les varia- 

 tions 8 et J, si nous n'eussions pas difféientié les formules qu'on vient de 

 citer, Vune par J, et l'autre par 8. La différentation dont il s'agit revient à 

 remplacer dans les formules en question les x et les § tant par x -+■ Jx et 

 que par x-\-8x, £~*-8§; or les quantités x-i- Jx et x-^8x ainsi 

 que § -+- J§ et ^ -H 5| ne sauraient être mises à la place des x et des ^, 

 qu'autant qu'elles satisfassent aussi aux équations (9) ou (14), sans lesquelles 



