Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 483 



la formule (68), donc aussi celle qui en dérive en changeant 8 en J, 

 n'aurait pas lieu. Mais si les variables x h- Jx, x Sx, § -i- J ^, § -\- 

 sont assujéties à vérifier les équations (14-), elles devront visiblement 

 se trouver parmi les x et les ^ qui satisfont à ces mêmes équations, et 

 qui ne diffèrent les unes des anti*es que par les valeurs des constantes 

 arbitraires, introduites par l'intégration. Il est facile d'en conclure que les 

 variations 8 et J ne peuvent être que les diflférenticlles relatives à ces 

 mêmes constantes , dont les x et les ^ sont des fonctions inconuTies et 

 que l'intégration fera connaître. Pour ce qui regarde les accroissements, ou 

 les différentielles 8 et J des constantes dont il s'agit, elles ne doivent 

 pas dépendre du temps , quand au reste elle peuvent être absolument 

 arbitraires. 



Mais il importe de faire observer que, puisque en différentiant par 

 8 et J, on a fait varier le temps ^, respectivement de 8t et Jt, il faut 

 en faire autant dans les 8x, les Jx, les 8§ et les J^. Les termes propor- 

 tionnels aux incréments 8t et Jt qui en naîtront d^ns les variations qu'on 

 vient de nommer, n'empêcheront pas les variables 



X -h- 8 x, X -\- Jj;, ^ -t- ^ -H 



de satisfaire aux équations (H) ou (9). Ainsi, en désignant par 



Oj, a^, 



les 2mn constantes arbitraires, introduites par l'intégration de ces équa- 

 tions , tout ce que nous pourrons admettre de plus général sur les 

 8x, Jx, 8g et Jg^ consistera à supposer , pour toutes les valeurs des nu- 

 méros i eX k, 



