Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 487 



i=mk=ii — 1 



(70) Const. = E {Jl-^8xS^^ — d^,^Jx^^^) 



qui est la seconde formule (70) et où les caractéristiques 8 et J se rap- 

 portent uniquement aux constantes arbitraires a. 



Nous pouvons retrouver l'équation (70) par un procédé de pure calcul, 



qui est préférable aux raisonnements que nous avons fait, pour établir les 



restrictions relatives aux différentielles 8 et /J. Pour cela reprenons la for- 

 mule [k) et écrivons là de la manière suivante 



(73) 8(Fdi) = E :^-{dt8x- — 8tdx.) -4- dt\ e8t~*- S E |; ^ 8x^^'> 



i^l [ i=l k=0 



Cette formule est libre de toute espèce de restriction, tant par rapport aux 

 X et aux § que relativement à leurs variations 8; bien entendu pourtant 

 que la subordination, par laquelle les dérivées et leurs variations dépendent 

 des fonctions primitives et de leurs variations, est maintenue. 



L'équation (73) étant une pure identité, rien n'empêche de la difFérentier 

 relativement à une caractéristique // des différentielles ou des variations 

 quelconques, différentes de celles qui sont marquées par 8, et nous aurons 



J8(Fdt) = S 



S,J(dt8x- — 8(dx,) -+■ {dt8x- — 8idx^)JZ, 



i=mk=n — \ 



J08t -t- 0J8t E :^ {J§.f^8xS^^ ^,f^J8xS'''>) 



Si nous admettons maintenant les équations (9) ou (l'i-), ce qui revient à 

 supposer 



(9) ^, = 0, 



nous aurons la véritable valeur de la double variation 



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