Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 493 



s=^mn r='2nin i=m k=n — 1 



const. = E ^Qr^^s ^ ^ 



da^ dUj. daj da^ 



Et comme les variations ba^ et /Ja^ ne sont limitées que par l'hypothèse 

 relative à leur petitesse différentielle et leur indépendance du temps, l'é- 

 quation précédente se décomposera et donnera celle-ci 



(75) 



=m k—n — 1 

 = 1 A-=0 



da-j. da^ da^. da^ 



pour toutes les valeurs des numéros r et s. La lettre C représente une va- 

 riable indépendante du temps. 



L'équation (75) est fondamentale dans la théorie relative à la variation 

 des constantes arbitraires. Nous y ferons, pour abréger 



(76) 



i=zmk=n-\ 

 i=l k=0 



dxl^ d^ _ dxj^ dki^^ 

 da^ da^ da^ da^ 



et nous aurons, pour toutes les valeurs que les n°' r et * peuvent avoir: 



(75) (r, s) = const. 



En mettant pour ces n°' successivement leurs valeurs i , 2, Z, k- . . . 

 2mn, le symbole 



(r, s) 



aura km^n^ valeurs correspondantes, mais comme visiblement 



(77) (r, r) = 0, 



les 2mn de ces dernières seront zéro^ ce qui en réduira le nombre à 

 2inn{2mn — i) 



qui seront à calculer. Or on voit, sans la moindre peine, que 

 {r, s) = — {s, r) 



(76) 



{r, s) (s, r) 



