Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 495 



Il y a des systèmes des constantes arbitraires a pour lesquels on trouve, 

 et avec facilité, toutes les valeurs du symbole 



{r, s) 



sans connaître la fonction V, c'est-à-dire sans qu'on ait formé les équations 

 {\k) dont l'intégration doit fournir les constantes a. On aura le plus simple 

 des systèmes dont nous parlons, en prenant pour constantes arbitraires le» 

 valeurs des x et ^ relatives à un instant donné quelconque. 



Ajoutons, pour abréger le discours, k ces valeurs l'épithète d'initiales 

 et examinons le système des constantes dont il vient d'être question. 

 Gomme le symbole 



{r, s) 



ne dépend point du temps t, on peut y donner à cette variable une valeur 

 particulière quelconque sans que le symbole (r, s) en change le moins du 

 monde. Donnons à i sa valeur relative à l'instant auquel se rapportent 

 les valeurs initiales des x et des ^ que l'on veut prendre pour constantes ar- 

 bitraires. Gomme alors les x et les ^ ne seront autre chose que les a, 

 il est évident, par l'équation 



i=m A =11 — 1 



{r, 5) = ^ ^ 



da. da, da^ da. 



=1 Â=0 



que le symbole (r, s) n'aura d'autres valeurs que zéro ourîrl. Nous aurons 

 d'abord 



{r, s) = 0, 



quand les deux quantités a. dont r et .? sont les numéros, représentent toutes 

 les deux les valeurs initiales des a?, ou bien toutes les deux les valeurs ini- 

 tiales des Gar on aura dans le premier cas 



^ = 0, = 0 



da,. da^ 



et dans le second 



d!xl^ _ ^ dr/^ _ ^ 

 da^ ' da^ 



Ce qui nous donne déjà 2mn {mn — 1) valeurs du symbole (r, s) égales 

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