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OSTROGRADSKY. 



à zéro. Voyons maintenant ce qui va arriver quand de deux variables, 

 et a^, l'une représente la valeur initiale d'un x et l'autre celle d'un ^. Si, 

 par exemple, est la valeur initiale d'un x quelconque a3/'^\ nous aurons 

 visiblement 



ce qui donnera 



(r, ^) = 1 ou (r, = 0 

 suivant que la variable est la valeur initiale de aux mêmes i et 

 k, que cc/'^\ ou qu'elle soit la valeur initiale d'un autre ^. Nous voyons de 

 cette manière que des m^n^ valeurs du symbole (r, s)^ appartenant à la ca- 

 thégorie que nous considérons, il n'y en aura que mii d'éj^ales à l'unité; les 

 mn [mn — 1) autres seront zéro. Supposons maintenant que est la va- 

 leur initiale d'un ^, par exemple de ^ ; alors, dans l'hypothèse que nous 

 examinons, représentera la valeur initiale d'un x, et nous aurons 



i'' ^) = - 



D'où l'on conclura que 



(r, s) = i ou (r, ^) = 0 

 suivant que représente la valeur initiale de x/*^' portant les mêmes n"^ i 

 et k que ou bien de tout autre x. Nous voyons comme tout -à 



l'heure, que sur m^n^ valeurs du symbole (r, s), relative à l'hypothèse que 

 a,, et sont respectivement les valeurs initiales d'un | et d'un x, il y en 

 aura ma d'égales à — 1 et les mn [mn — 1) restantes sont zéro. Nous aurons 

 donc en tout kmn [mn — 1) valeurs du symbole (r, s) égales à zéro, mn 

 égales à -4- 1 et //i/i à — 1. Ce qui fournit, pour le total des valeurs de 

 (r, s), le nombre 



kmn {mn — l) -t- 2mn = 2mn {2mn — l), 

 qui, en effet, appartient à ce symbole, sans pourtant compter les valeurs où 

 r = ^ et qui sont zéro, non seulement dans le cas particulier que nous exa- 

 minons, mais toujours. - 



