Équations différentielles dans le problème des isopérimètres. 507 



qui sont à former. Mais il i'ésulte du théorème que nous nous proposons 

 de démontrer, qu'il n'est pas nécessaire d'attribuer à i une valeur par- 

 ticulière, qu'on peut employer les intégrales elles mêmes des équations (H) 

 pour en tirer les dérivées partielles, relatives aux a; et aux |, des va- 

 riables 



0, , a,, o, a 



imn ' 



et former en suite, avec ces dérivées, toutes les 'valeùrs du symbole (0^,0^) 

 d'après la formule (89). 



Remarquez bien que de cette formule, en y attribuant à « sa valeur 

 initiale, résulterait l'équation 



(87) K,<,j=;j^T'(^;^-^^^) 



vous en conclurez qu'il 'suffirait, pour démontrer le théorème que nous 

 avons en vue, de faire voir que la somme 



i=m k=n—\ , , , , , . 



i=l kto "^'^^'^ ~ ^^^^ Wk^ 



ne dépend point du temps, ou qu'elle conserve une même valeur à toutes 

 les époques; car on aurait alors visiblement 



i=mk=n-\ rf^^ - da, da,\ ^ da, da, da,\ 



ce qui établirait l'exactitude de la formule (89). 



Ainsi, tout se réduit à démontrer que la différentielle ^. ''^ 

 i=m k=n—^ . j j 



OU 



( da-s 7 da^. da^ , da^ da,. , da^ da^ , da^ \ 



1 Co W'''^dki''^'''''^^~^Wk d^'~''^ 



