DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES 



pour servir 



à compléter la théorie des Maxima et Minima des fonctions 

 à plusieurs variables indépendantes. 



1. Depuis Lagrange qui, le premier, a posé les vrais principes de la théorie des 

 maxima et minima des fonctions à plusieurs variables indépendantes, cette doctrine a présenté 

 un cas, non résolu, du moins d'une manière bien explicite. C'est, comme on le sait, celui où 

 toutes les dérivées partielles de la fonction donnée, à commencer par celles du second ordre et 

 jusqu'à un ordre impair quelconque, inclusivement, se réduisent à zéro pour les valeurs des 

 variables qui annulent identiquement la première différentielle de la fonction. Lagrange, dans 

 sa Théorie des fonctions analytiques*), en parlant d'un cas très particulier de celui que nous 

 mentionnons, s'exprime de la manière suivante: 



«Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent 

 une quantité de la forme Ap 2 -+- Jipq -+- etc. toujours positive ou négative; on pourrait, de la 

 même manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de 

 la forme Ap i -+- Bp z q -+- etc. ; mais l'application de la méthode générale à ce cas serait sujette à 

 des difficultés de calcul qui pourraient la rendre impraticable; et c'est là un problème d'algèbre 

 dont il serail à désirer qu'on pût avoir une solution complète.» 



Le problême dont parle Lagrange dans ce passage a été résolu dans une Note que j'ai 

 présenté à l'Académie en 1829, mais seulement pour le cas de deux variables indépendantes. 

 Elle est imprimée dans les Mémoires de V Académie Impériale des Sciences de St.- Pétersbourg , VI série, 

 T. I, 1831, p. 463, sous le titre: Sur les maxima et les minima des fonctions à deux variables. 

 Dans le Mémoire que je présente aujourd'hui, je résous le problême en question dans toute sa 

 généralité: ce n'est pas seulement sur un polynôme du quatrième degré que j'opère, mais je 

 considère un polynôme d'un degré pair quelconque, contenant un nombre arbitraire de varia- 

 bles indépendantes. Ainsi, l'analyse que je vais exposer, servira à compléter la théorie des 



1) Première édition, page lOli. 

 Mém. se. math, et phys. T. VU. 



20 



