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Î54 (4) V. BoUNIAKOWSKY. 



maxima et des minima en donnant, d'une manière explicite, les caractères généraux qui fixent 

 l'existeuce de ces sortes de valeurs. 



Je commencerai d'abord par établir, d'une manière complète, les coudilions nécessaires 

 et suffisantes pour l'existence des maxima et minima d'une fonction à deux variables indépen- 

 dantes. Ce problème résolu, je ferai voir que la question générale, c'est-à-dire celle des maxima 

 et minima d'une fonction d'un nombre quelconque de variables, se ramène au premier cas, et, 

 sauf la prolixité des calculs, ne présente aucune difficulté sous le rapport théorique. 



2. Soient x et y deux variables indépendantes, et 



u = f{x, y) 



la fonction donnée. Supposons que l'on considère le svslème de valeurs 



x = a, y = b 



vérifiant les équations 



du q du q 



dx ~ ' ' dy 1 



et qu'il s'agit de savoir si f(a,b) représente ou non un maximum ou un minimum. Pour ré- 

 soudre cette question l'on a recours à la différentielle du second ordre 



d<> d 2 u ,o c\ d 2 u -, ? d 2 u , o 



~u = — , dx" -+• 2 — ,- dxdu -+- ~—„ du , 



dx 2 dxdy a dy 1 9 



calculée pour x = a, y = b. Si cette différentielle, pour des valeurs arbitraires de dx et dy, 

 conserve constamment le même signe, la quantité f(a,b) sera un maximum ou un minimum sui- 

 vant que d?u sera négative ou positive. La condition de l'existence du maximum ou du minimum, 

 indifféremment, ou bien celle qui établit que le signe de la différentielle du second ordre ne 

 change pas, sera, comme on le sait, 



le maximum aura lieu quand 

 et le minimum, dans le cas de 



d 2 u d 2 u / d 2 u \2 q 

 dx 2 ' dy 2 \dxdy I ' 



d 2 u . d 2 u . n 

 dx 2 et dy 2 < °' 



d 2 u . d 2 ll ~ „ 

 dx 2 el dy 2 > °- 



Mais si les valeurs x = a, y — b anéantissent chacune des trois dérivées 



d 2 u d 2 u d 2 u 

 dx 2 '' ctedj/' dy 2 '' 



il faudra nécessairement, pour que le maximum ou le minimum ait lieu, que chacune des quatre 

 dérivées du troisième ordre 



dHi d% d 3 u d 3 u 

 dx 3 ' dx 2 dy* dxdy 2 ' dj/ 3 '- 



