Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxima et Minima etc. (5) 155 



s'annule également pour les mêmes valeurs x = a, y = b. Dans cette hypothèse on aura re- 

 cours à la différentielle du quatrième ordre 



d 4 w = ^4 dx u -+- 4 dx 3 dy -t- 6 _ d " „ dx 2 dy 2 -+- 4 dxdu 3 -+- dy i : 



dx* dx^dy J ax~dy i ° dxdy i J dy* a 



si elle ne s'évanouit pas identiquement pour x — a, y = 6, il faudra, pour l'existence du 

 maximum ou du minimum , qu'elle conserve constamment le même signe pour des valeurs arbi- 

 traires de dx et dy. Le maximum aura lieu si cette différentielle est toujours négative, et le 

 minimum, si elle est positive. Ce cas, comme nous l'avons déjà dit, a été résolu dans la Note 

 citée plus haut, et, à notre connaissance, la question des maxima et minima, sous le point de 

 vue que nous considérons, n'a pas reçu de développements ultérieurs. Ce qui va suivre pourra 

 donc être regardé comme un complément indispensable dans cette doctrine importante. 



3. Pour considérer le problème des maxima et minima d'une fonction u = f(x,y) à deux 

 variables indépendantes x et y dans toute sa généralité, nous supposerons que le système des 

 valeurs x = a, y = 6, satisfaisant aux équations 



du q du q 



dx ' dy ' 



annule, identiquement, chacune des dérivées partielles des ordres supérieurs, jusqu'aux dérivées 

 de l'ordre impair 2» — î, inclusivement. Pour que le minimum ou le maximum ait lieu, il fau 

 dra que la différentielle de l'ordre 2n 



:! *r »»*jSà**r% r . . . , * £ <r. 



pour x = a, y = b, conserve constamment le signe plus ou moins, quelles que soient les 

 valeurs de dx et dy. Si donc l'on représente par t la quantité arbitraire ~, et que l'on fasse 



dx* n . — 0» dx^—^dy — A 0 A \- dx 2n —°~dy 2 A 0 A 2' " * ' dif-™ A 0 A 2n" l 1 ' 



on aura 



= A 0 dy^[t^ 2nAf->+ *^A/«->+. . . -^ 2n _, . M-jJ. (2) 



La condition, commune à l'existence du maximum ou du minimum, se réduira à ce que ie 

 polynôme 



^h- 2M/*- 1 h- ™%=*Af>~* + . . . .-h 2nA 2n _ r t i 2n (3) 

 reste constamment positif quel que soit t. Cette condition remplie, on aura 



A <C 0 pour le maximum , \ 



4 > 0 pour le minimum. ; 

 Pour que le polynôme (3) reste constamment positif, et ne puisse jamais s'anéantir, i! faudra 



