t56 (6) 



V. BoUNIAKOWSKY. 



qu'en le décomposant en facteurs linéaires, tous ces facteurs soient imaginaires, quelques-uns 

 d'ailleurs pouvant être égaux entr'eux. Après avoir séparé ces facteurs imaginaires égaux, 

 dont le produit, évidemment positif, ne peut pas s'évanouir, il nous restera un polynôme en t, 

 de degré pair, et il s'agira de trouver les conditions pour que ce nouveau polynôme soit con- 

 stamment positif, sans pouvoir s'annuler. Cela exige, qu'en l'égalant à zéro, il ne fournisse 

 pour t que des racines imaginaires qui, en vertu de l'opération préparatoire, seront toutes 

 inégales. 



Pour ne pas introduire inutilement un nouveau polynôme, nous pouvons conserver le 

 polynôme (3), et supposer de suite qu'il ne contient pas de facteurs imaginaires égaux. Opé- 

 rons sur cette fonction entière (3) comme si nous voulions déterminer, au moyen du Théorème de 

 Sturm, la nature de ses racines. Divisons la d'abord par sa dérivée 



2n« 2n -'-4- 2n(2n — l)^/ n-2 -f- -t- 2nA^_ t 



ou, plus simplement, par 



(5) ^-^ (2 n-l)V n " 2 ^ -*-4 2n _ r 



et soit 



R = Bf n ~ 2 -*- Cf n ~ 3 -*- 



le reste de cette division pris en signe contraire; les quantités B ,, C t . . . . seront exprimées en 

 fonction des coefficients .4 , A <i A^ n du polyoome (3) par des formules que nous rapporte- 

 rons dans le numéro suivant. Divisons ensuite l'expression (5) par R , et soit 



R 2 = Bf n - 3 + (7/ n - 4 -H.... 



le reste de cette nouvelle division, également avec le signe contraire. Continuons cette opéra- 

 tion jusqu'à-ce-que nous soyons arrivés aux deux derniers restes 



^2n — 2 ^2n— 2 " ' ^2n— 2 



I) __ T) 



2n— 1 2n — |» 



dont les signes ont été changés comme ceux des restes précédents. Admettons de plus, pour le 



moment, qu'aucun des nombres B , Z? 9 , B 3 ^o re _ 2 ? ^m— r tous ex P r ' m és en fonction de 



A t , A % .. .A 2n , ne se réduit à zéro, nous reservant, plus loin, d'examiner ces cas exceptionnels. 

 Dans cette supposition il est évident que, si nous voulions déterminer le nombre des racines 

 réelles de l'équation 



(6) r — i- Mf-* -h *Ëg$'Ajr* h- .... -h 2n4 SB _ 1 .i + i în = 0, 

 il suffirait de former la série 



(7) r, r-\ B % r-\ B/ n ~ 5 B 2n _ 2 t, B 2n _ v 



d'y substituer à t d'abord — oo, puis -*- oo, et de compter ensuite le nombre de variations 



