Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxima et Minima etc. (7) 157 



de signe que l'on obtient dans chacune de ces deux hypothèses. La différence des deux nombres, 

 ainsi trouvés, représentera la totalité des racines réelles. Si le résultat de chacune des deux sub- 

 stitutions, t = -+- oo et t = — oo, fournit le même nombre de variations de signe, on en 

 conclura que toutes les racines de l'équation (6) sont imaginaires. Cette condition, comme on 

 le sait, est nécessaire et suffisante pour que le polynôme (3) reste constamment positif, et ne 

 devienne jamais zéro. Si ce polynôme s'annulait sans changer de signe, l'équation (6) ad- 

 mettrait des racines réelles égales, en nombre pair; comme l'examen de cette particularité ne 

 présente aucune difficulté, il est inutile de s'y arrêter. 



4. Avant d'aller plus loin, nous croyons devoir rappeler que les restes R , jR 2 , R 3 



^tn— 2' ^2n— 1 ^ u nura é''o précédent, dont la connaissance est exigée par le théorème de Sturm. 

 ainsi que par notre analyse, peuvent être exprimés en fonction des coefficients de l'équation (6). 

 Voiçi un problême, plus général que celui dont nous parlons, et dont on a une solution com- 

 plète: Trouver l'expression du reste que l'on, obtient en divisant un 'polynôme F(t) d'un degré quel- 

 conque par un autre f(t), en supposant que le degré du second soit tout-au-plus égal à celui du 

 premier. Cette question a été résolue par M. Col lin s dans une Note ayant pour titre: Note sur 

 la forme des résidus des polynômes entiers 1 ). Nous reproduisons ici l'expression générale du reste 

 en question, en renvoyant le lecteur, pour la démonstration, à la Note que nous venons de cite: . 



Soit 



F(t) = t m -+- at m - ] h- a/ 1 ' 2 -+- .... —h- a m ,.< -4- a 



w I 2 m — 1 m 



le dividende, 



f(t) ==f- bf~* -t- 6/- 2 - . . . . -H (- 1 fb p 



le diviseur, et 



4(4 = cfP- 1 -+- c/" 2 -+- cJP~~^ — i— .... -+• Cp 2 . t -t— c p _ t = Sfy- 1 -"], Cq étant = c, 



le reste qu'il s'agit de déterminer. On aura, en employant la notation des aggrégats combinatoires 

 de Rothe, 



4>(f) = S[c/-<- ■*] = 



c+lc+2 p 



/ j \n— p-M-HH-b-t-c (b— 1) '. (g-MH- . . . -t-q) , <j, a i5 ,p- 



\ 1 ) 1 2 /> W 2 ' ' * °p ' 1 



al a! a! 



avec les équations de condition 



1 2 p 



(9) 



Dans ces formules les lettres gothiques a, h, C désignent successivement les nombres 0, 1,2, 



1 2 p 



a -+- 2a -+-.... -h = m — p-t- 1 — a-t-c. 



1) Bulletin scientifique publié par l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, Tome I, 1836, p. 113. 



