158 (8) V. B 0 V N 1 A K 0 W S K Y. 



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3 et a, a, a des entiers, zéro y compris, qui doivent satisfaire à la fois aux con- 

 ditions (9). La notation u.! représente le produit 1. 2. 3... .{jl; dans le cas particulier de u.= 0, 

 l'expression 0! doit être remplacée par 1. 11 en est de même des expressions 



C-Hl C+2 p 



(h — 1)!, (a + n + ... + a) 

 qui, pour 6 = 0, doivent être égalées à 1. Enfin, le signe sommatoire S doit s'étendre aux 

 valeurs c=0, 1,2,3 (p — 1), en embrassant toutes les hypothèses que l'on peut 



12 3 P 



faire sur a et b, et, par suite, sur les valeurs de a, a, a a, compatibles avec les équations 



de condition. 



Telle est la loi générale pour la formation du reste Pour des degrés un peu élevés 



des fonctions F(t) et j\t), le calcul de ce reste, au moyen de la formule (8). devient presqu'im- 

 praticable; aussi, cette expression générale ne peut avoir qu'un intérêt purement théorique 

 Four mieux préciser son usage, supposons, par exemple, que l'on veuille déterminer le coef- 

 ficient B^ du premier terme du reste R (no. 3). On fera 



M = *® = t m ~ x -t- "^at™-* h- H- 



» v / m m i m 2 



et l'on aura par conséquent 



, m — 1 , m — 2 



b. — a,, b n = cl, 



i m 1 2 m 2 



Pour avoir B il faudra changer dans la formule (8) le signe de *\>(t), remplacer p par m — 1, 



supposer c = 0, et substituer à b r b les valeurs que nous venons de trouver. On aura 



de cette manière : 



m—r 



I 2 m— 1 ' a \ m 



a!a!. . .a! 



avec les équations de condition 



1 2 m— 1 



a -t- a -t- .... -+- a = b 



1 2 m — 1 



a -+- 2a . . . -i- (wi — l)a = 2 — a 



11 n'y aurait plus qu'à remplacer, dans ces dernières formules, m par 2n, en observant que le 

 dividende (3) est un polynôme du degré 2n. 



Avant de quitter ce sujet nous pouvons indiquer encore un théorème qui se .rapporte à la 



détermination des restes R , R 0 , /? 3 du no. précédent; c'est le théorème de M. Sylvester 



(Philosophical Magazine, le no. de Décembre 1839). Mais ces restes, déterminés par la méthode de 

 M. Sylvester, n'étant pas immédiatement donnés en fonction des coefficients de l'équation pri- 

 mitive, leur expression ne s'applique pas directement à notre question. On trouvera la démon- 



