Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxim a et Minima etc. (9) I 59 



strafion du théorème dont nous parlons dans un Mémoire de M. Sturm ayant pour titre: 



Démonstration d'un Théorème d'algèbre de M. Sylvestre 1 ). 

 Revenons maintenant à notre question. 



5. Après ce qui a été dit dans le no. 3 nous avons à déterminer les conditions pour que la 

 série (7) contienne le même nombre de variations de signe pour t = -f- oo et pour l = — oo. 



Ces conditions ne portant que sur les signes -t- ou — dont les nombres B , //, 



B 2n _ 1 doivent être affectés, tout se réduira à trouver la loi qui établit le mode de distribution 

 de ces signes. Pour y parvenir d'une manière simple, nous conviendrons de désigner les 



valeurs de B , Z? 2 . . . . B , ^ 2n —v P r ' ses positivement, par B, B g(2n— g(2»— 2). on 



pourra donc poser 



!>, = (— j 

 B. y =(—i)h.B" / 

 (10) 



B 2n _ 2 = (— 1)^-2. B 1 " i 

 B 2n _, t =(-i)hn-i.B^ J 



et la nature du nombre entier X^, en tant qu'il sera pair ou impair, déterminera le signe de la 

 quantité B /c ; ce qu'il y a de plus simple à faire à cet égard, c'est de supposer X = 0 pour une 

 valeur positive de B, et X= 1 pour une valeur négative. D'ailleurs, comme nous n'avons besoin 

 de la série (7) qu'en raison des signes de ses différents termes, nous pourrons faire abstraction 

 des valeurs numériques B' , B B m ~ l) , et l'écrire sous celte forme: 



e», e n -\ (_i)V-V(— i) x ' 2 r"- 3 (— v) in ~\ (— i) x ' 2w -'. 



Cherchons actuellement à déterminer, par une formule analytique, le nombre de variations 

 de signe que présente la série (11) d'abord pour t = -+- oo. Soit N ce nombre. La série 

 des signes sera 



-f-, (— 1)\ — I " in ~% (— \)™-\ (12) 



Les deux premiers termes fournissent une permanence de signe; le second avec le troisième 

 donnent une permanence ou une variation suivant que X 1 est égal à zéro ou à 1 ; on pourra 

 donc dire que, dans le passage du second terme au troisième, on aura, pour exprimer la varia- 

 tion de signe, la formule , 



i^Ml (13) 



qui, en effet, se réduit à zéro pour X, = 0, et à 1 pour X = 1. 



Considérons maintenant les deux termes consécutifs 

 (— l) X i, (— l) x 2; 



1) Journal de Mathématiques pures et appliquées de J. Liouville, Tome septième, 1842, page 356. 



