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V. BOUNIAKOWSKY. 



pour qu'ils fournissent une variation de signe, il faut que les deux nombres X 1 et X 2 soient 

 d'espèces différentes, c'est-à-dire l'un pair, ou ce qui revient au même zéro, et l'autre impair 

 ou 1. Si ces deux nombres sont de même espèce, les deux termes ( — 1) 1, ( — 1) X 2 donneront 

 une permanence de signe. Chacune de ces deux circonstances sera exprimée par la formule 



K-+-K 



(») ' 



qui se réduira à 1 quand X f et X 2 seront d'espèces différentes , et à 0, quand ils seront de la 



même espèce. Donc, on pourra dire, que dans la série (12) il y a, jusqu'au quatrième terme, 



inclusivement, x x x 



1 — (— 1) 1 _ 1 - (— 1) 1 2 



2 ' 2 



variations de signe. 



L'expression x . 



1 _ (_ 1) 2 3 



(15) 5 



se réduira de même à 1 si les deux termes consécutifs ( — l) x ^, ( — 1) X 3 donnent une variation, 

 et à 0, s'ils présentent une permanence de signe, et ainsi de suite. Enfin, la formule 



(16) L -i-^-^W, 



donnera 1 quand les deux derniers termes 



(_l) >l2n -2, (_1) X 2«-1 



de la série (12) présenteront une variation, et zéro, quand ils donneront lieu à une permanence 

 de signe. De cette manière il est visible que la totalité N des variations de signe dans la série 



(12), pour t = -+- oo, sera égale à la somme des expressions (13), (14), (15) (16). 



Ou aura donc 



N = 



X. À ,-t-À„ X -*-X„ X„„ „ -»-V„ , 



l_(_l)i 2 i_(_i) 2 3 i_ ( _i)2n— 2 zn— i 



X ' - X*-»-X~ . . ^ 2 " , "^3 + / j \Sn— 2"*" X 2n— f 



ce qui revient à 



A = ^_i[ ( -i)'' +1 -irV(-i; 



ou bien, définitivement, 



(17) N= n — 1) '-+-(— 1) 1 2 H-(— l) 2 3 -t-... .-+-(— t) 



Calculons maintenant, de la même manière, le nombre N de variations de signe que pré- 

 sente la série (11) lorsque l'on y fait t = — oo; observons d'abord que tous les termes qui 

 contiennent des puissances impaires de t changeront de signe, et que par conséquent la série 

 de signes qui correspond à l'hypothèse t — — oo, sera 



-h, -, (-1)\ — (— 1)\ (-1)" 3 _(_1)^- 2 , (_1) X — ! ; 



