Développements analytiques qui complètent la théohie des Maxim a et Minima etc. (il) 161 



pour plus de commodité nous la remplacerons par la suivante : 



h-, (—!)•; (- 1)\ (- i) x "\ (- 1)\ (- i)^ 1 (- "\ (- i) x —'. (i8) 



Les deux premiers termes présentent déjà une variation de signe; quant à la totalité des varia- 

 tions de signe que donne la série (18), on la calculera comme plus haut, et l'on trouvera 



N = 1 



X X, -f-X X„-4-X 0 H-l X „ -f-X 



1 _(_!)! 1 _(_!)! 2 !_(_!■ 2 3 l_(_l)2tt— 2 >n — i 



2 2 ... 2 



9„ i X.-+-1 X ,-i-X -+-L X -+-X H-i X 



— 1 ) 2W ~ 2 2n -' l 3 



2 2 



ou bien, définitivement, 



i ir~ X. X.-t-X. X^^Xo X„„ i. _ t~X,„ , — î 



iV = »-Hjl+.(-l) 1 + (- l) 1 *H-(-1)^ 3 H-.... + (-l) 2W - ^ 3B - ']. (19) 



Pour que l'équation (6) n'admette que des racines imaginaires, il faut que l'on ait A 7 = A 7 ; 

 cette égalité, en vertu des formules (17) et (19), entraine la condition suivante: 



X, X ,-*-X X -+-X„ X -+-X, 



l-t-(— 1) '-*-(— 1) ' 2 -M— 0 3 -»-... .-•-(— l) 2n " 2 2 "~' = 0, (20) 



et l'on a en même temps 



N — n = A 7 '. (21 



6. Avant de déduire les conséquences auxquelles donne lieu l'équation fondamentale (20) 



par rapport à la distribution des signes entre les quantités B , B. ^2w— i' i UQ "iquons deux 



propriétés très simples dont jouit l'équation (6) lorsqu'elle n'admet que des racines imaginaires 

 inégales. Et d'abord, l'égalité (21) montre que, dans cette hypothèse, la série (7), fournie par 

 le théorème de Sturm, en la supposant toutefois complète, doit contenir, pour t = -+- oo et 

 pour t == — ■ oo, n variations de signe, c'est-à-dire la moitié du nombre 2n qui exprime le 

 degré de l'équation que l'on considère. En second lieu, il est facile de voir que le dernier 

 terme B de la série (7), toujours supposée complète, sera positif ou négatif suivant que n 

 sera pair ou impair, ou, autrement, suivant que le degré 2n de l'équation (6) sera pairement 

 pair ou impairement pair. En effet, pour que le terme 1 par lequel commence l'équation (20) 

 puisse disparaître, il faudra que dans la série des exposants 



\> \ n -2 HI ~\n-i 



il y ait un nombre impair de plus que de nombres pairs. Il y aura donc parmi ces exposants, 

 dont la totalité est de 2»i — 1, n — 1 nombres pairs et n nombres impairs. Si l'on représente 

 chacun des premier s par 0, et chacun des seconds par 1, la somme des exposants sera congrue 

 à n suivant le module 2; d'un autre côté, si l'on preud directement cette somme, on la trouve 

 égale à 



2(^^ 3 +--+U + Vr 



Mém. se. math, et phys. T. VIL 21 



