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V. BoCNIAKOWSKY. 



donc 



2 (X, -+- X 2 -+- \ -+- -f- X 2n _ 2 ) —t- X 2n _, = n (mod. 2) , 



ou bien 



congruence qui exprime précisément la propriété que nous avons énoncée. 



7. Revenins maintenant à l'équation (20). Pour plus de symétrie remplaçons son pre- 

 mier terme 1 par ( — 1 J^ 1 , p. étant = 0, et faisons 



0 = H-, 



\ = IS 



X, i - X, = a, . 

 (22) ( 121-3 



X 2 -+- X 3 = h 



Cela posé, la question que nous avons à résoudre revient évidemment à celle-ci : 



Déterminer tous les systèmes des valeurs X., X.,, X 3 . . . .X , de manière que parmi les 



entiers p. = 0, p..,, p. 3 , jjl, «7 se trouve précisément autant de nombres pairs que de 



nombres impairs. 



Commençons par déterminer les différents arrangements des nombres jt , p.,, p. 3 . . . p, 9n 

 avec la condition que, sur leur totalité In, il y en ait n de pairs et n d'impairs. Supposons 

 que les premiers soient représentés par zéro, et les seconds par l'unité. Le nombre de permuta- 

 tions à répétition des deux caractères 0 et 1, dont chacun doit être répété n fois, sera, comme 

 on le sait, exprimé par 



1.2.3 2n 



(1.2.3.. .w) 2 ' 



De plus, comme la condition p. = 0 exige que l'on ne conserve que les permutations qui 

 commencent par 0. le nombre précédent devra être réduit de moitié: en le représentant par S, 

 on aura 



/ 9 o\ ç _ 1.2.3. ...2n 



\**> 15 — 2(1.273. 77n)2- 



Tel est le nombre de systèmes différent pour les quantités [x, et par conséquent aussi 

 pour les quantités X. Ainsi, pour 2n - 2, on aura S = 1 ; pour 2// =. 4, S = 3; pour 2» 

 = 6, S = 10, etc. 



Les nombres X,, X , X 3 . . . . X 2n _ 1 se déduisent d'une manière très simple des équations 

 (22). En effet, supposons que l'on considère l'un des S systèmes de valeurs de p.; soit, par 

 exemple, 



(O (») *) (<) 



