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V. BOUNIAKOWSKY. 



Donc, pour qu'une équation du 6 me degré qui donne par le théorème de Sturm la série 



t\ f, B/, B/, B/. B ; t, B 5 , 



n'ait que des racines imaginaires, il faut d'abord que B 5 soit négatif, et, de plus, qu'une des 

 dix conditions quadruples suivantes soit remplie: 



», 



> o, 



B 2 > 0, 



»3 < 0 ' 



», > 0 



», 



> o, 



B 2 < 0 , 



»3 < 0 < 



B, > 0 



», 



> o, 



» 2 < o , 



»3 > °. 



B, > 0 



», 



> o, 



B 2 < 0, 



»3 > °. 



B, < 0 



», 



< o, 



» 2 < 0' 



»3 < 0 ' 



B, > 0 



», 



< o, 



B 2 < 0 ; 



^3 > 0 . 



»i > 0 



», 



< o, 



< 0 , 



»3 > Pi 



if 4 < o 



», 



< o, 



» 2 > 0, 



B s > 0, 



B 4 > 0 



», 



< o, 



» 2 > 0^ 



»3 > 0 - 



B, < 0 



», 



< o, 



B 2 > 0, 



»3 < ». 



», < 0 



9. Pour compléter la solution du problème dont nous nous occupons, nous dirons quel- 

 ques mots sur les cas particuliers auxquels l'application du procédé exposé pourrait donner lieu 

 si quelques uns des coefficients, représentés par B avec des indices, venaient à s'annuler. Dans 

 cette hypothèse la série (7) ne serait plus complète: il lui manquerait quelques termes. Cela 

 n'empêcherait pas qu'on ne pût faire usage de la même méthode. Pour mieux préciser les 

 légères modifications qu'il y aurait à apporter au procédé général, nous allons l'appliquer à 

 deux exemples particuliers. 



Supposons, en premier lieu, qu'une équation du 4 me degré ait conduit, par l'application 

 du théorème de Sturm, à la série 



**, < 3 , Lt, 17, 



privée de son troisième terme, contenant la puissance t 2 . Faisons, conformément à ce qui a été 

 indiqué plus haut, 



L = 1)V, M={-\) % M\ 



L' et M' désignant des nombres positifs. Ou aura à considérer, relativement aux signes, les 

 quatre termes 



t\ t\ (— (— i)\ 



Pour t = -t- oo, ces quatre ternies donnent 



-H, -H, (— 1)\ (— 1) X |, 



et le nombre de variations de signes sera 



X X -i-X 



1 — (— 1) 1 _ 1 — ( — 1) 1 2 



2 ~*~ 2 



f 



