Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxima et Minima etc. (17) lfi7 



Pour / = — oo, l'on obtient 



ou, ce qui revient au même, 



Le nombre de variations de signe pour ces quatre termes sera 



X, X,-t-X -f-i 



1 _ I— 1) 1 1 _ (_ 1) 1 -i 



1 L_. _|_ ! 



2 2 



Pour que l'équation du 4 me degré, sur laquelle on a opéré, n'ait que des racines imaginaires, 

 il faudra que les deux résultats que l'on vient d'obtenir soient égaux; on doit donc avoir 



X X-t-X, X, X -+-X -hi 



1 — (— 1) 1 1 — ( — 1 ) 1 2 __ , 1 — (— t) 1 _ _ 1 — c — 1) 1 2 

 2 ~*~ 2 I H- . j ■ H- 2 , 



ce qui donne simplement, après quelques réductions faciles, 



X.-i-X 0 



1 (_ j) 1 2 = 0. 



Cette égalité montre que la seule condition pour que les quatre racines de l'équation que 

 l'on considère soient imaginaires, se réduit à ce que la somme X, -t- X 2 soit impaire, ou, en se 

 repportant plus haut, que les quantités L et M soient de signes contraires. Cette condition 

 pourra doue être exprimée par l'inégalité LM < 0. 



Prenons encore un exemple un peu plus compliqué. Supposons, qu'en appliquant le 

 théorème de Sturm à une équation du S me degré, on soit arrivé à la série 



t\ f, Lt\ Mt\ Nt, P, 



à laquelle il manque trois termes affectés des puissances t 6 , t 3 et t 2 . Si l'on fait 



L = 



(-1 



) 'L, 



M = 



(— *: 





N = 



(-i 



)V, 



P = 



(-i 





L,', M', N', P désignant des nombres positifs, cette série, considérée relativement aux signes de 

 ses différents termes, pourra être remplacée par la suivante ■ 



t\ t\ e— (-1)S\ (— 1)S, (— 1)\ 



Pour i — -t— oo, on aura 



f—D\, (~\)\, (— n x 3, f_ t)\ 



et le nombre de variations de signes que donne cette série sera 



K x ,-+-k K-+-K K-+-K 



1 — 1 — (— 1) 1 2 !_(_!) 2 3 1 _ (_ 1) 3 4 



