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V. BOUNIAKOWSKY. 



Si l'on fait t = — oo, on trouvera la succession suivante de signes 



H-, —1 

 ou, ce qui revient au même, 



, —1, — (— 1)\, (— 1) X 2, — (— ) X 3, (— \)\ 



-H, (— 1)\ (— l)V-\ (-1)\ (-l)^, (— 1) X 4. 



Le nombre de variations que présente cette série sera 



X, X,-t-À -t-i X„-t-X„-Hi X -4-X 



1 _ 1 ~ ( ~ 1} _ 1 — (— 1 2 1 — (— 1) 2 3 1 - (— 1) 3 4 



x, x „-i-x„ ^ 4*X 



1 _ (_ 1) 1 l + (-l)l 2 l+(-l)2 3 i+(_l)3 4 



= 1 H 2 * 2 H 2 ' 2 . ' 



En égalant entr'eux les deux résultats que l'on vient de trouver, l'on obtient 



X X.-t-X X„-+-X„ X-4-X 



1 — (— 1) 1 1 — (— 1) 1 2 1 — (— 1) 2 3 1 — (—1) 3 4 



2 *~ 2 ~ + ~ 2 H ~ 2 



X, X-4-X X-t-X, X -4-X 



1 1 — (— 1) 1 l-t-(— 1 ) 1 2 1 -+-(— 1) 2 3 1 -»- (— 1) 3 4 

 — 1 H ^ 1 2 H 2 2 ' 



ou bien, toute réduction faite 



X.-4-X„ X-*-X„ X^-t-X, 



1 _+_(_!) ' 2 _+_(_t) 2 * (__ !)" « = 0 



Telle est l'égalité qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les 

 racines de l'équation du 8 me degré que l'on traite soient imaginaires. Pour que cette condition 

 soit satisfaite il suffira que deux des trois quantités 



\ -+- K = h 



\ + \ = ^3 



soient impaires, et wne, paire. Donc, si l'on représente par 0 les valeurs paires de jjl, et par 1 

 ses valeurs impaires, il s'agira de trouver toutes les permutations avec répétition de deux carac- 

 tères dont l'un, 0, n'entre qu'une fois, et l'autre, 1, deux fois. Le nombre de ces permutations 



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sera — 3, car on sait que si l'on avait a lettres a, (3 lettres 6, y lettres c etc., le nombre 

 de permutations, avec répétition, se déterminerait par la formule 



il. 2. 3 m 



1.2. 3... a. 1.2. 3... p. 1.2. 3. ...y.... ' 



m désignant la somme a + p + j+ Dans notre cas, les trois systèmes de valeurs 



de [j. seront 



h 



H-2 





1 



1 



0 



1 



0 



1 



0 



1 



1 



