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V. BoUNIAKOWSKT. 



nous supposerons que la fonction donnée ne dépend d'abord que de trois variables, et que ses 

 dérivées partielles des trois premiers ordres s'annulent identiquement. Il s'agira alors d'établir, 

 par la considération de la différentielle du quatrième ordre de la fonction, les conditions de 

 l'existence du maximum ou du minimum. L'analyse que nous emploierons pour résoudre cette 

 question particulière s'applique, comme on le verra facilement, au cas le plus général: la fonc- 

 tion donnée peut contenir un nombre quelconque de variables indépendantes, et l'on peut sup- 

 poser que toutes ses différentielles, à commencer par celle du second ordre, jusqu'à un ordre 

 impair quelconque, inclusivement, s'annulent identiquement pour les valeurs des variables qui 

 réduisent à zéro les premières dérivées partielles de la fonction. 



Soit donc 



u == f(x, y, z); 



nous supposons de plus qu'ayant résolu par rapport à x, y, z les équations 



du q du q du q 



dx ' dy ' dz ' 



on ait trouvé, entr'autres, le système 



x = a, y = b, z — c 



qui réduit à zéro chacune des six dérivées partielles du second ordre, ainsi que chacune des 

 dix dérivées du troisième. Pour décider si f(a, b, c) est un maximum ou un minimum, ou bien 

 ni l'un ni l'autre, il faudra examiner la différentielle quatrième d'u. Si cette différentielle con- 

 serve constamment le même signe quelles que soient les valeurs de dx, dy, dz, f(a, b, c) sera 

 un maximum ou un minimum suivant que dSi sera négative ou positive. Au contraire, si d r 'u est 

 tantôt positive, tantôt négative, f(a, b, c) ne sera ni un maximum ni un minimum. 



Le développement de d u u, ordonné suivant les puissances descendantes de dx, donne 



d% = Adx i -+- b{Bdy h- Cdz)dx 3 n- 6(Ddy 2 -h lEdydz Gdz 2 )dx 2 

 4(J/<% 3 -+- 3Kdy 2 dz -+- SLdydz 2 -4- Mdz 3 )dx 

 -+- Ndy u -+- bPdy s dz -+- 6Qdy 2 dz 2 -+- bRdydz 3 -+- Sdz\ 



dans lequel on a fait, pour abréger, 



. d*u „ d*u p _ d*u ^ _ d*u 



A dx'*' B — dx*dy~> L dx^dl' D dx*dy~* 



pour les valeurs x = a, y = b, z = c. 

 Si l'on pose en outre 



dx dy rp, 



