Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxima et Minima etc. (21) 171 



on aura 



A=w[«'+4(|r+^)^6(^+afr*f)«^4(fr 3 +3fï«'H-3^H-f)<| 



Pour que d 4 w conserve constamment le même signe il faudra que le polynôme 



(25) 



^!*(S r ^'|}^ etc: (26) 



compris entre les parenthèses carrées, soit constamment positif; par conséquent ce polynôme, 

 égalé à zéro, et résolu par rapport à t, ne devra avoir que des racines imaginaires quelque soit 

 le nombre arbitraire T. Ce sout ces conditions qu'il s'agit de trouver, et c'est à quoi nous 

 allons procéder. 



Supposons, pour abréger, 



27) 



v= 



B rp 



A 



C 



~ A 





h = 



A 



H L ~V A 





h = 



sr- 







h = 



A 



4- 4^r 3 -4- 6^T 2 H— 44 H 

 .4 A A 



S 

 A 



l'indice de 7 indiquant le degré du polynôme en T. Nous aurons à chercher les conditions pour 

 que les quatre racines de l'équation 



('' -t- 47/ 67/ -t- Mj — f— 7, = 0 



soient imaginaires, les coefficients 7,, 7.,, 7 3 , 7 4 variant avec la quantité arbitraire T. Appli- 

 quons à cette équation le théorème de Sturm, en ne conservant que le premier terme dans 

 chaque reste; on trouvera la série 



t\ t 3 , Bf, B 2 t, B 3 ; (28) 



les valeurs de B,, B t> , Z? 0 en fonction de /,, /„, /„, I. seront déterminées par les formules 

 suivantes : 



B , = (V - W - 8/A - JJ - 3(7/, - 7/ 



7? 3 = {/ 3 [(37,7; — Jj)4 — (37 2 7; — /<)/•] — l' 2 [(3Ij' 2 — - h.ïf\) x 



x{(37,7; — ï 3 % — 7 3 7; 2 } - [(37,7; - ï 3 % - (37 2 7; - 



(29) 



