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V. BOUNIAKOWSKY. 



Dans l'expression de B 3 on a supposé, pour abréger, 



/; = 3(/, 2 - / 2 ) 

 i = 3(1/, - / 3 ) 



et de plus on a fait abstraction dans les valeurs de B des facteurs essentiellement positifs. Or, 

 en nous reportant à ce qui a été prouvé plus haut (n° 8) relativement aux conditions pour que 

 les quatre racines d'une équation du quatrième degré soient imaginaires, nous conclurons que 

 l'équation (26) aura toutes ses racines imaginaires si l'on a, en premier lieu 



^3 > 0 > 



et de plus, si l'une des deux conditions 



fl, > 0 et B 2 < 0, 



ou 



< 0 



est vérifiée quelle que soit d'ailleurs la valeur de T. Notre assertion est complètement légitime, 

 car, supposons par exemple que, pour une valeur déterminée T= T , les quantités correspon- 

 dantes B u B. 2 , B 3 ne satisfont pas aux conditions prescrites; cela voudrait dire que l'équation 



t l -t- 4^r' -+- ^)t 3 -+- etc. = 0 



n'aurait pas toutes ses racines imaginaires. Donc, nous le répétons, pour que l'équation (26) 

 ait toutes ses racines imaginaires, il faut que l'on ait ou les trois conditions simultanées 



If > 0, Z? 2 <0, B z >■ 0 pour T arbitraire, 



ou bien les deux suivantes: 



B < 0 , B 3 > 0 pour T arbitraire. 



Cela établi, le problème qui nous occupe est résolu. En effet, les quantités B , B 2 , B 3 , en vertu 

 des équations (27) et (29), se réduiront respectivement à des polynômes en T du second, du 

 sixième et du seizième degré, c'est-à-dire d'un degré pair. Or, dans les premiers numéros de 

 notre Mémoire, nous avons vu comment on parvient aux conditions nécessaires et suffisantes 

 pour qu'un polynôme d'un degré pair quelconque, à une variable, reste constamment soit posi- 

 tif, soit négatif. Ainsi, sauf l'excessive longueur des calculs qui, d'ailleurs, ne peuvent pré- 

 senter aucune difficulté théorique, notre question est résolue d'une manière complète. 



il. Nous venons de ramener le cas d'un polynôme de trois variables indépendantes à 

 celui de deux. On traitera tout-à-fait de la même manière le cas d'une fonction à quatre va- 

 riables indépendantes, qu'on ramènera d'abord à celui de trois variables, et par suite à celui 



